Sforzo circonferenziale di un tubo soggetto a pressione idrostatica

È possibile determinare la soluzione in forma chiusa per un serbatoio circolare soggetto a pressione idrostatica. In prima istanza, verrà presentata la soluzione per un cilindro sottoposto a pressione costante (schema di tubo in pressione); successivamente, tale trattazione sarà estesa al caso specifico del serbatoio soggetto a pressione idrostatica.

Problema cinematico e statico

Considerando un tubo cilindrico di raggio medio R e di spessore t, soggetto a pressione q sulla parete dove quest’ultima può essere costante o variabile lungo l’asse del cilindro, ma costante lungo i paralleli, si ha una simmetria radiale in cui i paralleli si deformano rimanendo circolari.

Fig. 1 - Geometria lastra circolare

Il tubo può essere suddiviso in strisce longitudinali (direzione z) e strisce anulari[1] per capire meglio il problema cinematico e statico.

Fig. 2 - Suddivisione tubo
Fig. 3 - Cinematica e statica

La pressione q è supportata dalle strisce longitudinali, contrastate dalle strisce anulari; se indichiamo con w lo spostamento radiale, esiste una forza radiale P in direzione opposta allo spostamento esercitata dalle strisce anulari, risultante delle forze SR.

$$ \varepsilon_R = \frac{2\pi R_f - 2\pi R}{2\pi R} $$

$$ \varepsilon_R = \frac{\Delta R}{R} $$

$$ \varepsilon_R = \frac{w}{R} $$

$$ \sigma_R = E \cdot \varepsilon_R = \frac{E \cdot w}{R} $$

$$ S_R = 1 \cdot t \cdot \sigma_R $$

$$ P = \frac{S_R}{R} = \frac{E \cdot t \cdot w}{R^2} = k \cdot w $$

È possibile trovare così un’analogia con la trave su appoggio elastico continuo[2], la reazione può essere diretta sia in dentro che in fuori. La forza P è l’equivalente della forza esercitata dalle molle di rigidezza k.

$$ EI \frac{\partial^4 w}{\partial z^4} + kw = q $$

La striscia longitudinale di larghezza unitaria e lunghezza H è come se fosse una trave su suolo elastico.

Fig. 4 - Trave su appoggi elastici

Di seguito è riportata la risoluzione in forma chiusa del problema con spessore della parete costante.

$$ \beta = \sqrt[4]{\frac{k}{4 \cdot EI}} = \frac{\sqrt[4]{3 \cdot (1 - \nu^2)}}{R \cdot t} $$

$$ k = \frac{E \cdot t}{R^2} $$

$$ w = \frac{q(z)}{k} + C_1 \cdot e^{-\beta \cdot z} \cdot \cos(\beta \cdot z) + C_2 \cdot e^{-\beta \cdot z} \cdot \text{sen}(\beta \cdot z) + C_3 \cdot e^{\beta \cdot z} \cdot \cos(\beta \cdot z) + C_4 \cdot e^{\beta \cdot z} \cdot \text{sen}(\beta \cdot z) $$

Una volta determinato lo spostamento, è immediato ricavare la forza SR in qualsiasi punto.

Alcuni esempi risolti sono consultabili all'interno dell'opera di Ghali[3], dove sia hanno diverse condizioni al contorno.

Considerazioni

Nel contesto della progettazione di serbatoi, l’impiego di soluzioni semplificate come questa illustrata, risulta applicabile esclusivamente in presenza di forze assialsimmetriche. Tuttavia, quando le sollecitazioni variano lungo la circonferenza a una data quota, tali approcci perdono validità ed è necessario ricorrere a metodi di calcolo più avanzati.

Esempio di calcolo

Dato un serbatoio di diametro interno pari a 20 m, altezza 8 m, spessore della parete pari a 33 cm e riempito di liquido pari a 10000 N/m3. Il modulo di Young della parete è pari a 3.40×1010 Pa. Il modello prevede una condizione di vincolo a cerniera alla base della parete circolare, atta a impedire le traslazioni, ma a consentire la rotazione della sezione, mentre il bordo superiore è considerato libero da vincoli.

È stato fornito il calcolo analitico e numerico dello sforzo tangenziale massimo sulla parete indicato con Ny.

Calcolo analitico

Il calcolo analitico è stato effettuato attraverso l'algoritmo scritto in un foglio Excel con l'aiuto di Phyton (a seguito è possibile scaricarlo).

Ny,max = 843.91 kN

Calcolo numerico

Il calcolo numerico è stato effettuato attraverso un software FEM. La struttura è stata modellata con elementi shell, il carico applicato alle pareti in modo tale che aumenti in base alla profondità, tipico del carico idrostatico ed infine la struttura è stata vincolato dove il carico è massimo tramite cerniere, che consentono la rotazione in direzione tangenziale e bloccano tutti gli spostamenti nello spazio. Materiale isotropo.

Fig. 5 - Carico idrostatico
Qui sotto il grafico 3d delle tensioni circonferenziali sulle pareti.
Fig. 6 - Sforzo Ny

Si specifica che l'applicativo Excel è stato configurato per riflettere rigorosamente le condizioni al contorno sopra descritte; in particolare, il modello di calcolo implementa un vincolo di cerniera alla base della parete, garantendo la coerenza tra la formulazione teorica e i risultati numerici ottenuti.

Foglio di calcolo Excel

[1] Belluzzi, O., 1966. Scienza delle Costruzioni. Vol. 3 Bologna: Zanichelli

[2] Belluzzi, O., 1966. Scienza delle Costruzioni. Vol. 1. Bologna: Zanichelli

[3] Ghali, A., 2014. Circular Storage Tanks and Silos. 3ª ed. Boca Raton: CRC Press