Progettazione di gusci e piastre in calcestruzzo armato

Per la progettazione e la verifica agli stati limite ultimo di elementi lastra in calcestruzzo armato, la normativa italiana rimanda ad altri documenti di comprovata validità. Nel Model Code 2020[1] o l’Eurocodice[2], viene proposto di utilizzare il modello sandwich. Il modello sandwich rappresenta uno strumento progettuale avanzato per lo studio del comportamento degli elementi piastra in calcestruzzo armato. Questo modello si basa sull’idea di suddividere l’elemento in tre strati distinti: uno strato centrale, principalmente dedicato alla trasmissione degli sforzi di taglio, e due strati esterni, responsabili della resistenza agli sforzi normali e dei momenti flettenti.

Nonostante venga illustrato a grandi linee il metodo, alcune assunzioni fondamentali, come gli spessori degli strati, vengono lasciate alla decisione del progettista.

Storia

Il problema della progettazione di gusci in calcestruzzo armato agli stati limite ultimi, soggetti a forze membranali e flessionali, rimane tutt’oggi irrisolto in modo univoco[3]. Sebbene l’Eurocodice e il Model Code forniscano indicazioni su come modellare il guscio e suddividere le forze tra i vari strati, i progettisti spesso non dispongono di linee guida operative dettagliate per affrontare tale problema con metodi di calcolo pratici e validati.

Nelle normative precedenti all'Eurocodice del 2004[4], non troviamo il modello sandwich, ma per la progettazione delle piastre veniva proposto il metodo di Wood Armer[5]. Questo metodo era ampiamente adottato per tenere conto dei momenti torsionali nelle solette, fornendo un criterio di progettazione basato sulla combinazione dei momenti flettenti attraverso l’addizione vettoriale. Il metodo consiste nella determinazione di due momenti fittizi, uno per ciascuna delle due direzioni ortogonali dell’armatura (direzioni x e y). Questi momenti fittizi vengono calcolati tenendo conto non solo del momento flettente rispetto alla direzione delle barre di armatura, ma anche del momento torcenti ortogonale, ovvero il momento causato dalla torsione nella soletta. Con l’evoluzione delle normative, è stato introdotto il modello sandwich, che offre un approccio più sofisticato nella valutazione del comportamento strutturale delle solette, evitando tutte le problematiche del metodo di Wood Armer[6]. Tuttavia, il metodo rimane ancora oggi un riferimento importante, e molti software commerciali continuano a utilizzarlo per la determinazione delle armature minime.

In letteratura sono state sviluppate diverse tecniche per affrontare questa problematica. Uno dei metodi più noti è quello proposto da Brondum-Nielsen[7], implementato in software di progettazione strutturale come SAP2000. Questo modello considera il guscio come un elemento sandwich a tre strati, in cui: gli strati esterni sopportano le forze membranali e flessionali, trascurando il taglio; ogni strato è costituito da una rete ortogonale di armatura. Risulta particolarmente utile, ai fini dell’analisi condotta, fare riferimento anche agli studi di Leonhardt e Mönnig[8] relativi al comportamento delle lastre in cemento armato con singolo strato di armatura. Tali contributi forniscono indicazioni fondamentali per comprendere la distribuzione degli sforzi, la deformabilità e i criteri di progetto di queste strutture. Successivamente, Gupta[9] ha esteso il lavoro di Brondum-Nielsen introducendo un metodo iterativo per affinare la soluzione, mentre Marti[10] ha assegnato allo strato interno il compito di supportare lo sforzo di taglio fuori piano, completando così il modello iniziale. Tra gli altri studi di rilievo si segnalano quelli di Lourenço e Figuerias[11] [12], Min[13][14][15][16], di Bertagnoli e altri[17]; tutti con le ipotesi di stress uniforme nel puntone compresso nella profondità dello strato; la considerazione della tensione di snervamento nell’acciaio; la trascurabilità della tensione di trazione nel calcestruzzo e della tensione di compressione nell’acciaio. Una delle principali difficoltà di questi modelli risiede nella determinazione della profondità di compressione del puntone compresso, parametro essenziale per una progettazione accurata. Tuttavia, data la complessità del problema, non è possibile trattarlo come un valore di input noto a priori.

Il confronto tra i due metodi risulta piuttosto evidente, poiché il metodo di WA non tiene conto delle forze membranali, mentre il modello sandwich le include nella sua formulazione. Di conseguenza, per gusci sollecitati esclusivamente da momenti flettenti e torcenti, l’applicazione del metodo di WA può essere considerata adeguata. Tuttavia, qualora negli elementi siano presenti forze di trazione o compressione rilevanti, diventa indispensabile includerle nel modello, rendendo necessario l’uso di un approccio più completo come quello del modello sandwich.

Procedimento proposto

Si propone un metodo pratico, che evita l’uso di procedure iterative e semplifica il predimensionamento delle armature. La strategia adottata prevede: l’assunzione della profondità di compressione del puntone pari al doppio del copriferro; l’utilizzo dello stesso spessore degli strati in entrambe le direzioni del guscio, nonostante la disposizione dell’armatura possa trovarsi su livelli differenti. I software di analisi strutturale basati sul metodo degli elementi finiti FEM, comunemente utilizzati per lo studio delle piastre, forniscono come output grandezze fondamentali quali le forze interne per unità di lunghezza (N1, N2, N12, V1, V2) e i momenti flettenti (M1, M2, M12). Questi risultati rappresentano il punto di partenza per l’applicazione del modello sandwich.

Per suddividere le forze nei vari strati è indispensabile andare a definire la geometria della piastra e delle armature presenti all’interno di essa.

Per determinare la geometria del modello, si sono utilizzate esclusivamente medie aritmetiche sulle grandezze geometriche rilevanti. Ad esempio, lo spessore dello strato superiore csup è stato calcolato come la media tra c1,sup e c2,sup, dove c1,sup è stato assunto pari al doppio del copriferro dell’armatura superiore nella direzione 1, mentre c2,sup è stato assunto pari al doppio del copriferro dell’armatura superiore nella direzione 1.

Per ottenere un calcolo più accurato, è necessario considerare l’incremento delle forze derivanti dalla posizione non baricentrica dell’armatura rispetto all’elemento shell. Questo disallineamento può generare effetti aggiuntivi che non vengono catturati da un’analisi semplificata. Per tenere conto di questo sfasamento[18], si potrebbe eseguire un secondo calcolo, in cui, una volta determinate le forze agenti sulle armature considerate come baricentriche, si effettui un incremento proporzionale all’aliquota necessaria per garantire l’equilibrio dell’elemento. In questo modo, il modello di calcolo risulterebbe più aderente alla realtà fisica del problema, permettendo una valutazione più precisa della distribuzione degli sforzi e dei conseguenti effetti strutturali. Nel procedimento proposto, tali effetti vengono trascurati e si assume che le armature siano collocate in corrispondenza del baricentro dell’elemento shell. Questa semplificazione consente di ridurre la complessità computazionale dell’analisi, pur introducendo una certa approssimazione nella stima delle forze interne. Una volta ottenuta la geometria completa del modello a tre strati è possibile scomporre le forze derivanti dall’analisi FEM.

$$F_{N1,top} = \frac{N_1 \cdot \left( h - \left( h - \frac{c_{inf}}{2} \right) \right)}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{N1,bottom} = \frac{N_1 \cdot \left( \frac{h}{2} - \frac{c_{sup}}{2} \right)}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{N2,top} = \frac{N_2 \cdot \left( h - \left( h - \frac{c_{inf}}{2} \right) \right)}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{N2,bottom} = \frac{N_2 \cdot \left( \frac{h}{2} - \frac{c_{sup}}{2} \right)}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{N12,top} = \frac{N_{12} \cdot \left( h - \left( h - \frac{c_{inf}}{2} \right) \right)}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{N12,bottom} = \frac{N_{12} \cdot \left( \frac{h}{2} - \frac{c_{sup}}{2} \right)}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{M1,top} = -\frac{M_1}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{M1,bottom} = \frac{M_1}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{M2,top} = -\frac{M_2}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{M2,bottom} = \frac{M_2}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{M12,top} = -\frac{M_{12}}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

$$F_{M12,bottom} = \frac{M_{12}}{h - \frac{c_{inf}}{2} - \frac{c_{sup}}{2}}$$

Ipotesi di calcolo

Un elemento piano in calcestruzzo armato soggetto esclusivamente a forze membranali si comporta come un sistema bidimensionale in cui le sollecitazioni si distribuiscono internamente in funzione delle condizioni al contorno. Per comprendere il comportamento del materiale e determinare la quantità e la disposizione dell’armatura necessaria, è fondamentale partire dal calcolo delle forze interne e, successivamente, delle tensioni nei materiali costituenti. L’ipotesi adottata prevede che il calcestruzzo non reagisca a trazione, il che implica che nelle zone tese si possano formare fessure, mentre le armature lavorano solo a trazione e non offrono resistenza alla compressione. Questo porta a un modello di equilibrio basato sulla formazione di puntoni in calcestruzzo per la compressione e tiranti in acciaio per la trazione. L’obiettivo dell’analisi è identificare in quali regioni dell’elemento si manifestano tensioni di trazione e stabilire l’armatura necessaria per garantire la resistenza strutturale. La determinazione delle forze interne avviene a partire dalle condizioni di equilibrio e dai carichi di progetto. Ogni configurazione dipende dalle sollecitazioni imposte e dalle modalità di vincolo dell’elemento. In ogni elemento si assume la presenza di una fessura con un’inclinazione che può essere fissata per ottimizzare la progettazione o variabile in funzione delle sollecitazioni applicate. L’inclinazione della fessura influisce direttamente sulla distribuzione delle forze interne e sulla ripartizione degli sforzi tra il calcestruzzo e le armature. Lungo la fessura si genera un concio di equilibrio, in cui vengono calcolate le forze agenti sulle armature. Queste ultime, essendo gli unici elementi in grado di sopportare la trazione, assumono il ruolo di tiranti, bilanciando le azioni che altrimenti non potrebbero essere sostenute dal calcestruzzo. L’analisi di questo concio permette di determinare le tensioni nelle barre d’acciaio e di dimensionare correttamente la quantità di armatura necessaria. Perpendicolarmente alla fessura si identifica un secondo concio, in cui si valuta la capacità portante del calcestruzzo compresso. In questa regione si sviluppa il cosiddetto puntone in calcestruzzo, che trasmette le forze di compressione attraverso il materiale. La resistenza del puntone dipende dalla capacità del calcestruzzo di sopportare gli sforzi di compressione, tenendo conto dell’angolo di inclinazione della fessura. Casistiche L’analisi si sviluppa attraverso una suddivisione sistematica delle diverse casistiche di carico. Per una trattazione chiara del fenomeno, nelle formule di calcolo i valori vengono considerati in valore assoluto, senza segni convenzionali, in modo da evitare ambiguità interpretative e facilitare la comprensione dei meccanismi resistenti. Successivamente vengono analizzate in dettaglio alcune delle possibili configurazioni di carico, con l’obiettivo di fornire una panoramica chiara e completa del problema. Nel codice Python scaricabile sono fornite tutte le varie casistiche.

Caso 1

Quando si ha una trazione sia lungo la direzione 1, sia lungo la direzione 2 e la forza tagliante è positiva, si ha il caso 1, in cui l’armatura in direzione 1 e 2 è indispensabile. L’ampiezza dell’angolo di fessurazione θ, per limitare l’utilizzo dell’armatura e limitare l’intensità della forza di compressione nel puntone in calcestruzzo, è consigliato considerarlo di 45°.

$$\theta = \frac{\pi}{4}$$

$$F_{a1} = \frac{F_1 \operatorname{sen}(\theta) + F_{12} \cos(\theta)}{\operatorname{sen}(\theta)}$$

$$F_{a2} = \frac{F_{12} \operatorname{sen}(\theta) + F_2 \cos(\theta)}{\cos(\theta)}$$

$$F_c = \frac{F_{12} \cos(\theta)}{\cos^2(\theta) \operatorname{sen}(\theta)}$$

Caso 2

Quando si ha una trazione sia lungo la direzione 1, sia lungo la direzione 2 e la forza tagliante è negativa, si ha il caso 2, in cui l’armatura in direzione 1 e 2 è indispensabile. L’ampiezza dell’angolo di fessurazione θ, per limitare l’utilizzo dell’armatura e limitare l’intensità della forza di compressione nel puntone in calcestruzzo, è consigliato considerarlo di 45°.

$$\theta = \frac{\pi}{4}$$

$$F_{a1} = \frac{F_1 \operatorname{sen}(\theta) + F_{12} \cos(\theta)}{\operatorname{sen}(\theta)}$$

$$F_{a2} = \frac{F_{12} \operatorname{sen}(\theta) + F_2 \cos(\theta)}{\cos(\theta)}$$

$$F_c = \frac{F_{12} \cos(\theta)}{\cos^2(\theta) \operatorname{sen}(\theta)}$$

Caso 7b

Quando si ha una compressione sia lungo la direzione 1, sia lungo la direzione 2, la forza tagliante è positiva e inferiore in valore assoluto a F12 ma, maggiore a F1 si ha il caso 7b, in cui l’armatura in direzione 2 non è indispensabile. Le forze in direzione 2 devono essere in equilibrio tra di loro, l’ampiezza dell’angolo di fessurazione θ è quindi in funzione delle forze F12 e F12.

$$F_{a1} = 0 \quad \text{se} \quad F_{12} \geq F_1$$

$$F_{a2} = 0 \quad \text{se} \quad F_2 \geq F_{12}$$

$$\theta = \arctan\left(\frac{F_2}{F_{12}}\right)$$

$$F_{a1} = \frac{F_{12} \operatorname{sen}(\theta) - F_1 \cos(\theta)}{\cos(\theta)}$$

$$F_{a2} = 0$$

$$F_c = \frac{F_{12} \cos(\theta)}{\cos^2(\theta) \operatorname{sen}(\theta)}$$

Caso 7g

Quando si ha una compressione sia lungo la direzione 1, sia lungo la direzione 2, la forza tagliante è negativa e inferiore in valore assoluto a F1 ma, maggiore a F12 si ha il caso 7g, in cui l’armatura in direzione 1 non è indispensabile. Le forze in direzione 1 devono essere in equilibrio tra di loro, l’ampiezza dell’angolo di fessurazione θ è quindi in funzione delle forze F1 e F12.

$$F_{a1} = 0 \quad \text{se} \quad F_1 \geq F_{12}$$

$$F_{a2} = 0 \quad \text{se} \quad F_{12} \geq F_2$$

$$\theta = \arctan\left(\frac{F_{12}}{F_1}\right)$$

$$F_{a1} = 0$$

$$F_{a2} = \frac{F_{12} \operatorname{sen}(\theta) - F_2 \cos(\theta)}{\cos(\theta)}$$

$$F_c = \frac{F_{12} \cos(\theta)}{\cos^2(\theta) \operatorname{sen}(\theta)}$$

Progetto e verifica allo stato limite ultimo

La progettazione e la conseguente verifica dell’elemento avviene in modo relativamente semplice una volta determinate le forze agenti sulle armature e sul calcestruzzo. L’obiettivo principale è garantire che ogni materiale sia dimensionato in modo da sostenere le sollecitazioni che gli competono, rispettando le ipotesi di calcolo adottate. Per quanto riguarda l’armatura, la quantità di acciaio necessaria deve essere tale da assorbire completamente la forza di trazione risultante dall’analisi dell’equilibrio. Questo si traduce nel calcolo dell’area minima di armatura richiesta. La verifica viene effettuata confrontando lo sforzo agente con la resistenza ultima dell’acciaio, tenendo conto del coefficiente di sicurezza.

$$A_{ax} = \frac{F_{ax}}{f_{yd}} \qquad \qquad f_{yd} \geq \frac{F_{ax}}{A_{ax}}$$

$$A_{ay} = \frac{F_{ay}}{f_{yd}} \qquad \qquad f_{yd} \geq \frac{F_{ay}}{A_{ay}}$$

Analogamente, per il calcestruzzo, la progettazione deve assicurare che la forza di compressione sia compatibile con la resistenza del materiale. Il puntone compresso, formato nel concio perpendicolare alla fessura, deve essere verificato affinché la tensione di compressione sviluppata non superi la resistenza a compressione del calcestruzzo ridotta dai coefficienti di sicurezza.

$$f_{cd} \geq F_c$$

L’ultima verifica fondamentale che convalida l’intero processo di progettazione è la verifica a taglio[10]. Questa verifica è cruciale poiché, se non soddisfatta, rende necessario rivedere le scelte progettuali, modificando gli spessori dell’elemento sandwich, aumentando lo spessore della piastra o introducendo armature specifiche per il taglio. La verifica a taglio si basa sul confronto tra lo sforzo di taglio agente nell’elemento e la resistenza disponibile.

$$t_{Rd} \geq t_{Ed}$$

$$t_{Ed} = \frac{V_{Ed}}{d_v} = \frac{V_{Ed}}{h - c_{sup} - c_{inf}}$$

$$V_{Ed} = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}$$

Se il calcestruzzo da solo non è in grado di assorbire il taglio, si rende necessaria l’introduzione di armature specifiche, come staffe o barre inclinate, che contribuiscono a garantire l’equilibrio delle forze interne. In alternativa, se l’elemento è sottodimensionato, può essere necessario aumentarne lo spessore per incrementare la capacità resistente.

Si specifica che gli applicativi in Python sono divisi: uno per la progettazione e uno per la verifica. Il calcolatore ha necessità della libreira NumPY.

Script per la progettazione         Script per la verifica

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